العدديات ومقارنة الأخطاء

بدلًا من تقريب \(f(x)\) مباشرةً (الرتبة 0)، يمكن تقريبها في فضاء نسبي (الرتبة 1) أو في فضاء أعلى لوغ–لوغ (الرتبة 2)، ثم العودة إلى \(f\). هذا كثيرًا ما يُحسن الاستقرار العددي للقيم الكبيرة وللسلوك متعدد المقاييس.
قاعدة الترميز: نكتب المشتقات دائمًا بالرتبة والدرجة: \(\;D_r^n\). وفي هذه الصفحة نستعمل غالبًا الدرجة \(1\): \(\;D_0^1, D_1^1, D_2^1\).

Concept DOI: 10.5281/zenodo.17917302

1) طرق التقريب المحلي (حول نقطة أساس \(x_0\))

نقارن ثلاث نماذج من الدرجة الأولى عبر تثبيت مشتق مناسب (درجة \(1\)) محليًا عند \(x_0\).

الرتبة 0 (D0) تايلور من الدرجة الأولى (إضافي)

\[ f(x)\approx f(x_0)+\left(D_{0}^{1}f\right)(x_0)\,(x-x_0). \]

الرتبة 1 (D1) النموذج النسبي (ضربي)

\[ D_{1}^{1}f=\frac{d\ln f}{d\ln x} \quad\Rightarrow\quad f(x)\approx f(x_0)\left(\frac{x}{x_0}\right)^{\left(D_{1}^{1}f\right)(x_0)}. \]

الرتبة 2 (D2) نموذج لوغ–لوغ (بنيوي)

\[ \boxed{ D_{2}^{1}f=\frac{d\ln(\ln f)}{d\ln(\ln x)} } \] \[ \Delta_2=\ln(\ln x)-\ln(\ln x_0)=\ln\!\left(\frac{\ln x}{\ln x_0}\right), \qquad a=\left(D_{2}^{1}f\right)(x_0). \] \[ \ln(\ln f(x))\approx \ln(\ln f(x_0)) + a\,\Delta_2 \quad\Rightarrow\quad f(x)\approx \exp\!\Big(\exp(\ln(\ln f(x_0)) + a\,\Delta_2)\Big). \]

ملاحظة مجال: الرتبة 2 تتطلب \(x>1\) (حتى تكون \(\ln x>0\)) وغالبًا \(f(x)>1\) (حتى تكون \(\ln f>0\)).

مقياس الخطأ: نستعمل الخطأ النسبي: \(\;\varepsilon = \left|\dfrac{\widehat{f}(x)-f(x)}{f(x)}\right|\).

2) تجربة 1: نموذج متعدد المقاييس تصبح فيه الرتبة 2 دقيقة

\[ f(x)=\exp\big((\ln x)^2\big),\quad x>1,\qquad x_0=10. \]

نقارن عند \(x\in\{8,9,10,11,12,15\}\).

لماذا هذا المثال؟

لدينا \(\ln(\ln f)=\ln((\ln x)^2)=2\ln(\ln x)\)، وبالتالي \(D_{2}^{1}f=2\) ثابت. إذن التقريب من الرتبة الثانية دقيق نظريًا؛ وأي خطأ ظاهر \(\approx 0\) سببه التقريب العددي/التنسيق.

جدول — تجربة 1 (متعدد المقاييس): مقارنة D0 و D1 و D2
x	القيمة الحقيقية	الرتبة 0	الرتبة 1	الرتبة 2	خطأ نسبي R0	خطأ نسبي R1	خطأ نسبي R2
8	75.496	15.850	71.829	75.496	0.790	0.0486	≈0
9	124.935	108.284	123.556	124.935	0.133	0.0110	≈0
10	200.717	200.717	200.717	200.717	0	0	0
11	314.160	293.151	311.319	314.160	0.0669	0.00904	≈0
12	480.468	385.585	464.759	480.468	0.197	0.0327	≈0
15	1530.785	662.886	1298.719	1530.785	0.567	0.152	≈0

ملاحظة: عند حساب الجدول برمجيًا، استعمل عددًا أكبر من الأرقام لإظهار أن أخطاء الرتبة 2 قرب دقة الآلة.

3) تجربة 2: قانون قوى تصبح فيه الرتبة 1 دقيقة

\[ g(x)=x^{3.5},\quad x>0,\qquad x_0=10. \]

نقارن عند \(x\in\{8,9,10,11,12,15\}\).

لماذا هذا المثال؟

في قوانين القوى يكون \(D_{1}^{1}g=3.5\) ثابتًا، لذا نموذج الرتبة 1 يطابق القيمة الحقيقية (مع تقريب طفيف فقط).

جدول — تجربة 2 (قانون قوى): مقارنة D0 و D1
x	القيمة الحقيقية	الرتبة 0	الرتبة 1	خطأ نسبي R0	خطأ نسبي R1
8	1448.155	948.683	1448.155	0.345	≈0
9	2187.000	2055.480	2187.000	0.0601	≈0
10	3162.278	3162.278	3162.278	0	0
11	4414.428	4269.075	4414.428	0.0329	≈0
12	5985.968	5375.872	5985.968	0.1019	≈0
15	13071.319	8696.264	13071.319	0.335	≈0

4) الخلاصة

قاعدة عملية

قوانين القوى ⟶ الرتبة 1 (المشتق النسبي \(D_{1}^{1}\)) غالبًا هو نظام الإحداثيات الصحيح.
السلوك متعدد المقاييس مثل \(\exp((\ln x)^k)\) ⟶ الرتبة 2 (\(D_{2}^{1}\)) تصبح شديدة الاستقرار وقد تكون دقيقة تمامًا لبعض النماذج.

التالي: المعادلات الهرمية · التكامل الهرمي · النظرية