المتسلسلات: التفاضلية والنسبيّة واللوغاريتمية

هذه الصفحة توحّد ثلاث عائلات تقريب حول نقطة مرجعية \(x_0\): (1) متسلسلة تايلور التفاضلية (الرتبة 0، العامل \(D_0^n\))، (2) متسلسلة نسبية ضربية (“Product Taylor”) (الرتبة 1، العامل \(D_1^n\))، (3) متسلسلة الرتبة الثانية اللوغاريتمية-الأُسية (الرتبة 2، العامل \(D_2^n\)). نكتب دائمًا المشتقات بوضوح مع الرتبة والدرجة.

الرتبة 0: تفاضلي الرتبة 1: نسبي (ضربي) الرتبة 2: لوغ-لوغ (أُسّي) تقريب الدوال

GOSSA AHMED

Independent Researcher — Hierarchical Calculus

المفاهيم الأساسية

نقطة التوسع

اختر \(x_0\) داخل المجال. جودة التقريب تعتمد على معنى “القرب”:
— في الرتبة 0: القرب إضافي عبر \(x-x_0\).
— في الرتبة 1: القرب نسبي عبر \(x/x_0\).
— في الرتبة 2: القرب لوغاريتمي عبر \(\ln x/\ln x_0\) (أو \(\ln(\ln x)\)).

ملاحظة مجال: الرتبة \(D_2\) تستعمل \(\ln(\ln x)\) و \(\ln(\ln f)\)، لذلك نفترض \(x>1\) (حتى \(\ln x>0\)) و \(f(x)>1\) (حتى \(\ln f>0\)).

1) المتسلسلة التفاضلية — الرتبة 0 (العامل \(D_0^n\))

متسلسلة تايلور الكلاسيكية المبنية على المشتقات العادية. نكتب الرتبة+الدرجة مثل \(D_0^n\).

الصيغة (تايلور)

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(D_{0}^{n}f)(x_0)}{n!}\,(x-x_0)^{n}. \]

حيث \(D_{0}^{0}f=f\)، و \(D_{0}^{1}f=df/dx\)، و \(D_{0}^{2}f=d^2f/dx^2\)، إلخ.

متى تكون الأقوى؟

عندما يكون \(x\) قريبًا جدًا من \(x_0\) إضافيًا (فرق \(x-x_0\)).
تقريب ممتاز محليًا للدوال التحليلية (sin, cos, exp...).
تتأثر بوجود أقطاب/تفردات قريبة تحدد نصف قطر التقارب.

2) المتسلسلة النسبيّة الضربيّة — الرتبة 1 (العامل \(D_1^n\))

“تايلور ضربي”: sum → product و minus → division. مبنية من مشتقات نسبية متتالية (درجة \(n\)) في الرتبة 1.

تعريفات

\[ t=\frac{x}{x_0},\qquad \Delta=\ln\!\left(\frac{x}{x_0}\right)=\ln t. \]

الصيغة (الصيغة المتفق عليها “Form 2”)

\[ \frac{f(x)}{f(x_0)} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x}{x_0}\right)^{ \frac{\left(D_{1}^{n}\ln f\right)(x_0)}{n!}\;\Delta^{\,n-1} }. \]

حيث \[ \left(D_{1}^{n}\ln f\right)(x_0) = \left.\left(\frac{d}{d\ln x}\right)^{n}\ln f(x)\right|_{x=x_0}. \]

هنا الدرجة \(n\) هي رتبة الاشتقاق بالنسبة لـ \(\ln x\).

لماذا هي ضربيّة؟

نحن نوسّع \(\ln f\) بالنسبة لـ \(\ln x\) (وهذا توسع جمعي)، ثم نعود إلى \(f\) فيتحول إلى توسع ضربي. الأس السالب يعني قسمة: \[ \left(\frac{x}{x_0}\right)^{-a}=\frac{1}{\left(\frac{x}{x_0}\right)^{a}}. \]

3) متسلسلة الرتبة الثانية اللوغاريتمية-الأُسية — الرتبة 2 (العامل \(D_2^n\))

في الرتبة 2 يصبح المتغير الفعال هو \(\ln(\ln x)\). نستعمل صيغة عملية تقرّب \(\ln f(x)\) نسبةً إلى \(\ln f(x_0)\)، بينما تعريف المشتق في الرتبة 2 يتم عبر \(\ln(\ln f)\).

تعريفات

\[ \Delta_2=\ln(\ln x)-\ln(\ln x_0)=\ln\!\left(\frac{\ln x}{\ln x_0}\right), \qquad t_2=\frac{\ln x}{\ln x_0}. \]

مشتق الرتبة 2 (درجة 1)

\[ \boxed{ D_{2}^{1} f(x)=\frac{d\ln(\ln f(x))}{d\ln(\ln x)} } \qquad (x>1,\ f(x)>1) \]

الصيغة (صيغة عملية)

\[ \frac{\ln f(x)}{\ln f(x_0)} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\ln x}{\ln x_0}\right)^{ \frac{\left(D_{2}^{n}\ln^{(2)} f\right)(x_0)}{n!}\;\Delta_2^{\,n-1} }. \]

حيث \(\ln^{(2)}f=\ln(\ln f)\)، و \[ \left(D_{2}^{n}\ln^{(2)} f\right)(x_0) = \left.\left(\frac{d}{d\,\ln(\ln x)}\right)^{n}\ln(\ln f(x))\right|_{x=x_0}. \]

تفسير

الرتبة 2 تقيس القرب عبر \(\ln(\ln x)\)، لذلك يظهر طبيعيًا \(\ln x/\ln x_0\). الأس السالب يعني قسمة كما في الرتبة 1.

كيف نستخدم هذه المتسلسلات عمليًا للتقريب؟

وصفة تطبيقية

اختر \(x_0\) داخل منطقة اهتمامك.
اختر مقياس القرب: فرق (رتبة 0)، نسبة (رتبة 1)، أو لوغ-لوغ (رتبة 2).
اختر درجة قطع \(N\) (مثلًا 3 أو 4) واستعمل الصيغة المقطوعة.
تذكّر: \(D_0^n\) مشتقات عادية، أما الرتبة 1 و2 فمشتقاتها تبنى على \(\ln x\) و \(\ln(\ln x)\).

قاعدة سريعة:
— سلوك قوى (\(x^p\), \(\sqrt{x}\)) → الرتبة 1 غالبًا الأقوى.
— تذبذبات (sin/cos) → الرتبة 0 غالبًا الأقوى محليًا.
— سلوك متعدد المقاييس (log/log-log) → الرتبة 2 قد تكون الأقوى عند تحقق المجال.

سبع دوال مألوفة: أي متسلسلة أقوى؟

الهدف هنا هو تفكير بنيوي: أي متسلسلة تلتقط شكل الدالة بكفاءة أعلى. نفترض \(x_0>1\) (مثلًا \(x_0=10\)) ونقارن قرب \(x_0\).

1) \(f(x)=x^p\) (قانون قوى)

الأقوى: الرتبة 1 (النسبي الضربي). لأن \(\ln f=p\ln x\) فالبنية تُلتقط بكفاءة عالية جدًا.

2) \(f(x)=\sqrt{x}\)

الأقوى: الرتبة 1 — حالة خاصة من قانون قوى مع \(p=\tfrac12\).

3) \(f(x)=e^x\)

يعتمد على معنى القرب:
الرتبة 0: الأفضل لقرب إضافي صغير جدًا.
الرتبة 1: مفيدة إذا كان الحديث عن تغيرات نسبية في \(x\).
الرتبة 2: قد تفيد عبر مقاييس أوسع حين يكون \(\ln(\ln f)\) معرفًا.

4) \(f(x)=\ln x\) (لـ \(x>1\))

غالبًا الأقوى: الرتبة 2 عندما تكون معرفة، لأن \(\ln x\) يتوافق مع مقياس \(\ln(\ln x)\).
محليًا: الرتبة 0 أيضًا قوية إذا كان \(x-x_0\) صغيرًا.

5) \(f(x)=\dfrac{1}{1-\alpha x}\) (بعيدًا عن القطب)

الأقوى: الرتبة 0 (تايلور) شرط أن تكون \(x_0\) بعيدة عن القطب \(x=1/\alpha\). التفردات القريبة تتحكم عادة في نصف قطر التقارب.

6) \(f(x)=\sin x + 2\)

الأقوى: الرتبة 0 محليًا لأن التذبذب يلتقط إضافيًا بكفاءة. الرتبة 1 عادةً أقل اقتصادية في هذه الحالة.

7) \(f(x)=1+\dfrac{1}{x}\)

غالبًا الأقوى: الرتبة 1 عند التغيرات النسبية لأن التغير مدفوع بالمقياس وبطيء. الرتبة 0 جيدة محليًا لكنها قد تحتاج درجة أعلى لنفس الدقة على تغيرات نسبية أكبر.

الخلاصة النهائية: لا توجد متسلسلة “أفضل دائمًا”. الاختيار يعتمد على نوع الدالة (قوى/تذبذب/لوغاريتمي) وعلى مفهوم القرب (فرق/نسبة/لوغ-لوغ).