إطار رياضي يقدّم طبقات مشتقات ومعادلات متعددة المستويات: من التفاضلي (الرتبة 0) إلى النسبي (الرتبة 1) واللوغاريتمي (الرتبة 2) ثم الرتب الأعلى (3…n). هذا الموقع هو المرجع الرسمي للإصدارات المؤرشفة عبر Zenodo، مع روابط DOI للاستشهاد العلمي.
قاعدة الترميز: الدرجة فوق والرتبة تحت. نكتب المشتق الهرمي بالصيغة \(D^{k}_{n}\) حيث \(n\) رتبة القياس و\(k\) درجة الاشتقاق. وأكثر حالة استعمالًا هي \(k=1\).
المشتق الهرمي من الرتبة \(n\) عند الدرجة \(1\) (مع شروط المجال):
حيث \(\ln^{(n)}\) هو اللوغاريتم المتكرر \(n\) مرات (مثال: \(\ln^{(3)}(x)=\ln(\ln(\ln x))\)).
لأن الرتب الأعلى تستخدم لوغاريتمات متكررة، يجب الانتباه إلى شروط المجال:
المعادلات الهرمية تعمّم المعادلات التفاضلية باستخدام مشتقات من رتب مختلفة. وهي مفيدة عندما يكون سلوك النمو/التغير طبيعيًا على مقياس نسبي أو لوغاريتمي أو على طبقات متكررة.
عند درجات أعلى \(k=1,2,3,\dots\) نكتب:
وبالرفع الهرمي المناسب قد تتحول المعادلة إلى صيغة أبسط في رتبة أعلى (تفاصيل أكثر في صفحات المعادلات، وخاصة: equations.html).
إذا كانت المعادلة تتضمن \(\ln(\ln y)\) أو مستويات متكررة، فكتابة المشكلة على رتبة أعلى قد يجعلها مباشرة وبسيطة. مثال عام:
هذا القسم جاهز للنسخ في أي بحث أو رسالة أو مقال.
روابط الصفحات المرجعية الأساسية (العربية + الإنجليزية).
صفحات تطبيقية تربط الحساب الهرمي بميادين علمية وهندسية واقتصادية، مع أمثلة ومناقشات واقعية.
تطبيقات فيزيائية على \(D_0^1\) و \(D_1^1\) و\(D_2^1\) وفكرة التحويل الهرمي.
عامل التمدد الكوني \(a(t)\)، التسارع، والطاقة المظلمة كإشارة إلى سلوك رتبي أعلى.
قياس التضخم والنمو والمخاطر المتسارعة باستخدام الرتب \(D_0^1, D_1^1, D_2^1\).
20 حالة هندسية مع أمثلة رقمية: الشروخ، الهبوط، التآكل، المخاطر المتسارعة.
أمثلة القياس والتشابه والمساحات والحجوم: \(D_0^1\) مقابل \(D_1^1\) كـ “مستخرج للثوابت”.
إذا تم إضافة تطبيقات جديدة مستقبلاً (مثل الكيمياء، الأحياء، أو الذكاء الاصطناعي)، سيتم إدراجها هنا داخل قسم التطبيقات.
صفحات تفسيرية “على شكل ورقة بحثية” تساعد القارئ على فهم البنية الفكرية للحساب الهرمي: التعريف، المقارنة، الرتب والدرجات، والحدود.
تفسير هرمي لمعنى “التغير”: من المطلق إلى النسبي إلى تغير آلية التغير.
مقارنة منظمة بين الحساب الهرمي والحساب الكلاسيكي والكسري واللوغاريتمي وغيرها.
شرح الترميز الثنائي \(D_r^n\) وكيف يمنع الغموض في أنواع المشتقات.
قواعد الربط والتحويل بين الرتب، وكيف نفهم صيغ التحويل باعتبارها لغة موحدة.
لماذا قد يحسن تغيير الرتبة الدقة العددية؟ وكيف نتعامل مع التقريب في فضاء لوغاريتمي.
صفحة السلاسل: أدوات تقريب، توسعات، وربطها بمستويات التحويل الهرمي.
أكثر الأسئلة تكرارًا حول المفهوم، التعريفات، حدود المجال، والتحسينات العددية.
قائمة مراجع منظمة (مع ملفات PDF) لدعم الأساس العلمي والفكري.
الهدف من جمع هذه المقالات في مكان واحد هو أن الزائر لا يحتاج معرفة أسماء الملفات مسبقًا. الصفحة الرئيسية تصبح “دليلًا” يغطي: الأساس + التطبيقات + المقالات المرجعية.