لكل مشتق رتبة ودرجة

في الحساب الهرمي لا نكتب أي مشتق دون تحديد رتبته (نوع/طبقة التحويل) ودرجته (عدد مرات التتالي). الترميز القياسي هو:

\[ \boxed{D_{r}^{n}} \]

حيث \(r\in\{0,1,2,\dots\}\) هي الرتبة (0: تفاضلي D0، 1: نسبي D1، 2: لوغاريتمي، …) و\(n\in\{0,1,2,\dots\}\) هي الدرجة.

قاعدة الاتساق

في جميع صفحات الموقع: تعريف \(D_r^1\) يعتمد تطبيق \(\ln^{(r)}\) على الطرفين (على \(x\) وعلى \(f(x)\)) دون صيغ مختلطة. هذا يمنع أي تناقض اصطلاحي بين الصفحات.

فهرس سريع

1) التعاريف الأساسية (اللوغاريتم المتكرر، الرتبة، الدرجة) 2) التعريف المعتمد لـ \(D_r^1\) (درجة 1) 3) معنى الدرجة كتتالي 4) شروط المجال (ما الذي يجب أن يكون موجبًا) 5) علاقات ربط الرتب + المؤثرات الحسابية \(\delta_r\) 6) أمثلة محلولة (D0 و D1) 7) شبكة الرتب والدرجات (رؤية تنظيمية) 8) لماذا هذه الصفحة مهمة للمتسلسلات

1) التعاريف الأساسية

1.1 اللوغاريتمات المتكررة \(\ln^{(r)}\)

نعرّف اللوغاريتم المتكرر بشكل عودي:

\[ \ln^{(0)}(x)=x,\qquad \ln^{(1)}(x)=\ln(x),\qquad \ln^{(r+1)}(x)=\ln\!\big(\ln^{(r)}(x)\big). \]

ونستخدم اختصار المتغير الهرمي: \[ u_r(x) := \ln^{(r)}(x). \] وبالمثل على جهة الدالة: \[ v_r(f(x)) := \ln^{(r)}(f(x)). \]

1.2 ما معنى الرتبة؟

الرتبة \(r\) تحدد “طبقة القياس” للتغير:

رتبة 0 (D0): تغيّر بالنسبة لـ \(x\) مباشرة (الحساب التفاضلي التقليدي).
رتبة 1 (D1): تغيّر بالنسبة لـ \(\ln(x)\) (قياس نسبي/ضربي).
رتبة 2: تغيّر بالنسبة لـ \(\ln(\ln(x))\) (قياس لوغاريتمي متداخل).

1.3 ما معنى الدرجة؟

الدرجة \(n\) هي عدد مرات التتالي داخل نفس الرتبة. أي: نثبت الرتبة أولًا ثم نرفع الدرجة بالتكرار.

2) التعريف المعتمد لـ \(D_r^1\) (درجة 1)

2.1 تعريف موحّد (هذا هو التعريف الوحيد المعتمد في الموقع)

المشتق الهرمي من الرتبة \(r\) والدرجة 1 يُعرّف بـ:

\[ \boxed{ D_{r}^{1} f(x)=\frac{d\,\ln^{(r)}\!\big(f(x)\big)}{d\,\ln^{(r)}\!(x)} } \]

ملاحظة اتساق: لا نستخدم صيغًا مختلطة مثل \(\frac{d(\ln f)}{d\ln^{(r)}x}\). التعريف المعتمد يطبق \(\ln^{(r)}\) على الطرفين.

2.2 حالات خاصة (D0 و D1)

\[ D_{0}^{1}f=\frac{df}{dx}, \qquad D_{1}^{1}f=\frac{d\ln f}{d\ln x}, \qquad D_{2}^{1}f=\frac{d\ln(\ln f)}{d\ln(\ln x)}. \]

بهذا يظهر التفاضل التقليدي كحالة رتبة-صفر بشكل صريح.

3) معنى الدرجة كتتالي

3.1 تعريف الدرجة كمؤثر

الدرجة \(n\) تعني تطبيق مشتق الرتبة نفسها \(n\) مرة:

\[ \boxed{ D_{r}^{n}(\cdot)=\underbrace{D_{r}^{1}\circ D_{r}^{1}\circ\cdots\circ D_{r}^{1}}_{n\ \text{مرات}}(\cdot) } \]

وبالخصوص: \[ D_{r}^{0}f=f. \]

3.2 سلسلتان مفيدتان (لا تخلط بينهما)

في التطبيقات (خصوصًا المتسلسلات) من المفيد التمييز بين:

(أ) درجات على \(f\) نفسه: \(D_r^n f = D_r^1(D_r^{n-1}f)\).
(ب) درجات على الكمية المحوّلة: \(A_n^{(r)} := \big(D_r^n\,\ln^{(r)} f\big)\). وهذه هي الأكثر عملية في المتسلسلات الضَّربية/الأسّية.

4) شروط المجال (ما الذي يجب أن يكون موجبًا)

4.1 لماذا المجال مهم؟

لأن \(\ln^{(r)}\) يظهر صراحة، يجب احترام شروط الإيجابية. مثلًا:

\[ r=1:\ x>0,\ f(x)>0. \qquad r=2:\ x>1,\ f(x)>1 \ \ (\text{غالبًا لضمان تعريف }\ln(\ln(\cdot))). \]

قاعدة آمنة: يجب أن تكون كل السلسلة الداخلة إلى \(\ln^{(r)}\) في مجال تعريفها.

5) علاقات ربط الرتب + مؤثرات حسابية \(\delta_r\)

5.1 علاقة الربط بين \(D_0\) و\(D_1\)

المشتق النسبي من الدرجة 1 يربط مباشرة بالمشتق التفاضلي:

\[ \boxed{ D_{1}^{1}f(x)=\frac{d\ln f}{d\ln x} =\frac{x}{f(x)}\,\frac{df(x)}{dx} =\frac{x}{f(x)}\,D_{0}^{1}f(x) } \]

ومنه:

\[ \boxed{ D_{0}^{1}f(x)=\frac{f(x)}{x}\,D_{1}^{1}f(x) } \]

5.2 مؤثر الرتبة الأولى \(\delta_1\)

نعرّف المؤثر المقياسي:

\[ \boxed{ \delta_1 := \frac{d}{d\ln x}=x\frac{d}{dx} } \]

عندها يمكن كتابة:

\[ \boxed{ D_{1}^{1}f=\delta_1(\ln f) } \]

5.3 مؤثر الرتبة الثانية \(\delta_2\)

للرتبة الثانية:

\[ \boxed{ \delta_2 := \frac{d}{d\ln(\ln x)} = x\ln(x)\frac{d}{dx} } \]

وعندها:

\[ \boxed{ D_{2}^{1}f=\delta_2(\ln(\ln f)) } \]

5.4 فكرة عامة لـ \(\delta_r\)

الفكرة العامة: \(\delta_r\) هو اشتقاق بالنسبة لـ \(\ln^{(r)}(x)\). للرتب (0,1,2) أعطينا صيغًا صريحة، والرتب الأعلى تُبنى بنفس المبدأ.

6) أمثلة محلولة (D0 و D1)

مثال (أ): \(f(x)=x^a\) (مع \(x>0\))

\[ D_0^1(x^a)=a x^{a-1}, \qquad D_1^1(x^a)=\frac{d\ln(x^a)}{d\ln(x)}=a. \]

اختلاف الرتبة يغيّر معنى القياس: \(D_0\) تفاضلي مباشر، و\(D_1\) نسبي على مقياس لوغاريتمي.

مثال (ب): \(f(x)=e^x\) (مع \(x>0\) للرتبة 1)

\[ D_0^1(e^x)=e^x, \qquad D_1^1(e^x)=\frac{d\ln(e^x)}{d\ln(x)}=\frac{d(x)}{d(\ln x)}=x. \]

مثال (ج): ثابت \(f(x)=c>0\)

\[ D_0^1(c)=0, \qquad D_1^1(c)=\frac{d\ln(c)}{d\ln(x)}=0. \]

7) شبكة الرتب والدرجات (رؤية تنظيمية)

جدول رمزي مختصر

\[ \begin{array}{c|ccc} \text{الرتبة } r & \text{درجة 1} & \text{درجة 2} & \text{درجة 3}\\ \hline 0 & D_0^{1}f & D_0^{2}f & D_0^{3}f\\ 1 & D_1^{1}f & D_1^{2}f & D_1^{3}f\\ 2 & D_2^{1}f & D_2^{2}f & D_2^{3}f\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \]

هذه الشبكة تمنع الغموض: نثبت الرتبة ثم نرفع الدرجة بالتتالي.

8) لماذا هذه الصفحة مهمة للمتسلسلات

8.1 رفع الدرجة بطريقة حسابية (المعاملات التي تظهر في المتسلسلات)

داخل نفس الرتبة، رفع الدرجة يصبح قابلًا للحساب عبر \(\delta_r\). للرتبتين (1,2):

\[ \delta_1:=\frac{d}{d\ln x}=x\frac{d}{dx}, \qquad \delta_2:=\frac{d}{d\ln(\ln x)}=x\ln(x)\frac{d}{dx}. \]

نعرّف (للرتبة 1) سلسلة معاملات عملية: \[ A_n^{(1)}(x) := \big(D_1^n\,\ln f\big)(x). \] عندها:

\[ \boxed{ A_{1}^{(1)}(x)=\delta_1(\ln f)=\frac{x}{f(x)}\,\frac{df}{dx} } \]

\[ \boxed{ A_{n+1}^{(1)}(x)=\delta_1\!\left(A_{n}^{(1)}(x)\right) =x\frac{d}{dx}A_{n}^{(1)}(x) } \]

أمثلة للدرجات الأولى:

\[ \boxed{ \big(D_{1}^{2}\ln f\big)(x) =x\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right) } \]

\[ \boxed{ \big(D_{1}^{3}\ln f\big)(x) =x\frac{d}{dx}\!\left[x\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)\right] } \]

وبالمثل للرتبة 2 نعرّف: \[ A_n^{(2)}(x):=\big(D_2^n\,\ln^{(2)}f\big)(x),\quad \ln^{(2)}f=\ln(\ln f). \] فنحصل على:

\[ \boxed{ A_{1}^{(2)}(x)=\delta_2\!\big(\ln(\ln f)\big) } \]

\[ \boxed{ A_{n+1}^{(2)}(x)=\delta_2\!\left(A_{n}^{(2)}(x)\right) =x\ln(x)\frac{d}{dx}A_{n}^{(2)}(x) } \]

لماذا هذا مهم؟

هذه العلاقات تعطي “وصفة حسابية” لرفع الدرجة داخل نفس الرتبة (خصوصًا \(D_1\) و\(D_2\))، وهي بالضبط ما تحتاجه لبناء معاملات المتسلسلات الضَّربية/الأسّية في صفحة المتسلسلات.

إشارة تطبيقية: هذه الصفحة هي “صمام الأمان” ضد الانزلاق الاصطلاحي: فهي تثبّت معنى الرتبة والدرجة وتعرض المؤثرات التي تجعل الحساب عمليًا وقابلًا للتطبيق.