قوانين الاشتقاق الهرميترميز صريح: \(D_r^n\) (الرتبة + الدرجة)
قوانين الاشتقاق الهرمي
في هذه الصفحة نعرض القواعد الأساسية للاشتقاق الهرمي. نبدأ بالمشتق النسبي ثم نُعمِّم إلى الرتبة \(n\).
قاعدة الترميز: نكتب أي مشتق بصيغة الرتبة والدرجة:
\(\;D_r^n\). وفي هذه الصفحة نستعمل الدرجة \(1\) صراحة:
\(\;D_{0}^{1}, D_{1}^{1}, D_{n}^{1}\).
ملاحظة مجال (مهمة للتحكيم):
في الرتبة 1 غالبًا نحتاج \(x>0\) و \(f(x)>0\) لأن \(\ln x\) و \(\ln f\) يظهران.
في الرتبة 2 غالبًا نحتاج \(x>1\) و \(f(x)>1\) لأن \(\ln\ln x\) و \(\ln\ln f\) يظهران.
حيث \(\ln^{(n)}\) تعني اللوغاريتم المتكرر \(n\) مرات:
\(\ln^{(1)}x=\ln x\)، \(\ln^{(2)}x=\ln(\ln x)\)، وهكذا.
وهذا يجعل الرتبة 2 مطابقة تمامًا للتعريف المستخدم في الصفحات التطبيقية:
\[
D_{2}^{1}f=\frac{d\ln(\ln f)}{d\ln(\ln x)}.
\]
تكرار بنيوي:
لأن اللوغاريتم يحول الضرب إلى جمع، فإن قواعد “الضرب/القسمة/رفع لقوة ثابتة”
تبقى بنفس الشكل في كل رتبة (متى كانت التعابير معرفة على المجال).
\[
\boxed{
D_{n}^{1}(fg)=D_{n}^{1} f + D_{n}^{1} g,\qquad
D_{n}^{1}\!\left(\frac{f}{g}\right)=D_{n}^{1} f - D_{n}^{1} g,\qquad
D_{n}^{1}(f^a)=a\,D_{n}^{1} f
}
\]