العلاقة بين المشتقات الهرمية

في الحساب الهرمي لا تُعامل المشتقات كعمليات منفصلة، بل كمستويات مترابطة ضمن هرم واحد.
قاعدة الترميز: سنكتب دائمًا المشتق بصيغة الرتبة والدرجة: \(\;D_r^n\). وفي هذه الصفحة أغلب العلاقات تخص الدرجة 1 لذا نكتبها صراحة: \(\;D_0^{1}, D_1^{1}, D_2^{1}, \dots, D_n^{1}\).

1) تعريف عام للمشتق الهرمي (درجة 1)

لدالة \(y=y(x)\) نكتب الصيغة العامة للرتبة \(n\) عند الدرجة \(1\) بالشكل:

\[ \boxed{ D_{n}^{1} y = \frac{dy}{dx}\;\frac{x\,\phi_n(x)}{y\,\phi_n(y)} } \]

حيث دوال القياس الهرمية (مثال أولي):

\[ \phi_1(t)=1,\quad \phi_2(t)=\ln t,\quad \phi_3(t)=\ln(\ln t),\;\dots \]

2) الرتب الأولى (درجة 1)

من التعريف تظهر الرتب الأولى عند الدرجة \(1\):

\[ D_{0}^{1}y=\frac{dy}{dx}, \qquad D_{1}^{1}y=\frac{dy\cdot x}{dx\cdot y}, \qquad D_{2}^{1}y=\frac{dy\cdot x\ln x}{dx\cdot y\ln y}. \]

3) العلاقة الجامعة بين أي رتبة و \(D_{0}^{1}\)

من التعريف العام نحصل على الصيغة الجامعة:

\[ \boxed{ D_{n}^{1}y = D_{0}^{1}y \;\frac{x\,\phi_n(x)}{y\,\phi_n(y)} } \]

أي أن أي رتبة عند الدرجة 1 هي إعادة وزن نسبي للمشتق التفاضلي \(D_0^{1}\) عبر \(\phi_n\).

4) العلاقة بين رتبتين متتاليتين \(D_{n}^{1} \leftrightarrow D_{n+1}^{1}\)

بمقارنة تعريف \(D_{n+1}^{1}\) مع تعريف \(D_{n}^{1}\) نحصل على:

\[ \boxed{ D_{n+1}^{1} y = D_{n}^{1} y \;\frac{\phi_{n+1}(x)}{\phi_n(x)} \;\frac{\phi_n(y)}{\phi_{n+1}(y)} } \]

5) علاقات الرتب الأولى (درجة 1)

من \(D_{0}^{1}\) إلى \(D_{1}^{1}\):
\[ \boxed{ D_{1}^{1}y = D_{0}^{1}y\;\frac{x}{y} } \]
من \(D_{1}^{1}\) إلى \(D_{2}^{1}\):
\[ \boxed{ D_{2}^{1}y = D_{1}^{1}y\;\frac{\ln x}{\ln y} } \]
من \(D_{2}^{1}\) إلى \(D_{3}^{1}\):
\[ \boxed{ D_{3}^{1}y = D_{2}^{1}y\;\frac{\ln(\ln x)}{\ln(\ln y)} } \]

6) الصيغة المضغوطة (سُلّم الرتب عند الدرجة 1)

يمكن تلخيص الهرم كاملًا بصيغة ضرب تراكمي (درجة 1):

\[ \boxed{ D_{n}^{1}y = D_{1}^{1}y \prod_{k=2}^{n} \frac{\phi_k(x)}{\phi_k(y)} } \]

أو انطلاقًا من \(D_{0}^{1}\):

\[ \boxed{ D_{n}^{1}y = D_{0}^{1}y \;\frac{x}{y} \prod_{k=2}^{n} \frac{\phi_k(x)}{\phi_k(y)} } \]

ملاحظة: إذا أردت إدخال الدرجات (مثل \(D_1^{2}\), \(D_1^{3}\) …) فهذا يتم بتتالي الاشتقاق داخل نفس الرتبة كما في صفحة “الرتبة والدرجة”.