0) ملخص سريع: شروط المجال + علاقة التحويل بين D0 و D1
شروط المجال
الرتبة
شروط نموذجية لازمة
\(r=0\)
لا شروط إضافية غير شروط الدالة المعتادة.
\(r=1\)
\(x>0\) و \(y(x)>0\) عند استعمال \(\ln x\) و \(\ln y\).
\(r=2\)
\(\ln x>0\) و \(\ln y>0\) (غالبًا \(x>1\) و \(y(x)>1\)).
تنبيه مهم:
في الرتبة 2 تظهر \(\ln(\ln(\cdot))\)، لذلك يجب تجنب النقاط التي تجعل \(\ln x=0\) أو \(\ln y=0\).
العلاقة الجسرية (رتبة 0 ↔ رتبة 1)
\[
D_{1}^{1}y=\frac{d\ln y}{d\ln x}
=\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}
=\frac{x}{y}D_{0}^{1}y
\quad\Longleftrightarrow\quad
D_{0}^{1}y=\frac{y}{x}D_{1}^{1}y.
\]
فكرة الحل عند الخلط:
إذا ظهرت رتبتان في نفس المعادلة، حوِّل كل شيء إلى رتبة واحدة باستخدام علاقة الجسر، ثم حل بالطريقة التقليدية، ثم راجع شروط المجال.
مثال 1 (رتبة 0): \(\;D_{0}^{1}y=3y\)
\[
D_{0}^{1}y(x)=3\,y(x)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{dy}{dx}=3y.
\]
\[
\frac{1}{y}\,dy=3\,dx
\quad\Longrightarrow\quad
\ln|y|=3x+C
\quad\Longrightarrow\quad
y(x)=C_0 e^{3x}.
\]
ملاحظة: هذا هو نموذج النمو الأُسّي في الرتبة 0.
مثال 2 (رتبة 1): \(\;D_{1}^{1}y=k\)
\[
D_{1}^{1}y(x)=k
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{d\ln y}{d\ln x}=k.
\]
\[
d(\ln y)=k\,d(\ln x)
\quad\Longrightarrow\quad
\ln y=k\ln x+C
\quad\Longrightarrow\quad
y(x)=C_0 x^k.
\]
شروط المجال (رتبة 1): \(x>0\) و \(y(x)>0\).
مثال 3 (رتبة 2): \(\;D_{2}^{1}y=A\)
\[
D_{2}^{1}y(x)=A
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{d\ln(\ln y)}{d\ln(\ln x)}=A.
\]
\[
d\ln(\ln y)=A\,d\ln(\ln x)
\quad\Longrightarrow\quad
\ln(\ln y)=A\ln(\ln x)+C.
\]
\[
\ln(\ln y)=\ln\!\big((\ln x)^A\big)+C
\quad\Longrightarrow\quad
\ln y = C_1(\ln x)^A
\quad\Longrightarrow\quad
y(x)=\exp\!\big(C_1(\ln x)^A\big).
\]
شروط المجال (رتبة 2): عادةً \(x>1\) و \(y(x)>1\).
مثال 4 (درجات داخل رتبة 1): إذا \(\;D_{1}^{1}y=a\) ثابت، فـ \(\;D_{1}^{n}y=0\) لكل \(n\ge2\)
\[
D_{1}^{1}y(x)=a\quad(\text{ثابت}).
\]
الدرجة تعني التتالي داخل نفس الرتبة:
\[
D_{1}^{2}y = D_{1}^{1}\!\big(D_{1}^{1}y\big)=D_{1}^{1}(a)=0.
\]
ثم:
\[
D_{1}^{3}y=D_{1}^{1}(0)=0,\;\dots
\]
\[
D_{1}^{2}y(x)=0,\qquad D_{1}^{3}y(x)=0,\qquad \dots
\]
تفسير: في الرتبة 1، الاشتقاق يكون بالنسبة لـ \(\ln x\). إذا كانت “الميل النسبي” ثابتًا، فالتغير في هذا الميل يساوي صفرًا.
مثال 5 (خلط رتبتين — مثال نظيف محلول): \(\;D_{0}^{1}y=\dfrac{y}{x}\)
هذا المثال مهم لأنه يوضح العلاقة الجسرية عمليًا بين رتبة 0 و رتبة 1.
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{y}dy=\frac{1}{x}dx
\quad\Longrightarrow\quad
\ln y=\ln x+C
\quad\Longrightarrow\quad
y(x)=C_0x.
\]
تحقق سريع بالرتبة 1:
\[
D_{1}^{1}y=\frac{d\ln(C_0x)}{d\ln x}=1.
\]
إذًا الحل \(y=C_0x\) يقابل تمامًا معادلة رتبة 1: \(\;D_{1}^{1}y=1\).
شروط المجال: للحساب الواقعي باللوغاريتمات نأخذ \(x>0\) و \(y>0\) (أي \(C_0>0\)).
مثال 6 (رتبة 0، درجة 2): \(\;D_{0}^{2}y=k^2y\)
\[
D_{0}^{2}y(x)=k^{2}y(x)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=k^{2}y.
\]
\[
y(x)=C_1e^{kx}+C_2e^{-kx}.
\]
ملاحظة: هذا مثال كلاسيكي مهم لأن “الدرجة” تظهر بوضوح في الرتبة 0.
مثال 7 (رتبتان: 1 و 2 — حلّ مؤكّد): \(\;D_{1}^{1}y - D_{2}^{1}y = 0\)
\[
D_{1}^{1}y(x)-D_{2}^{1}y(x)=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{d\ln y}{d\ln x}=\frac{d\ln(\ln y)}{d\ln(\ln x)}.
\]
هذا نموذج متقدم (خلط رتب) ويحتاج تدقيق شروط المجال. بدل تركه “غامضًا”، نثبت هنا حلًا صحيحًا واضحًا:
حلّ واضح: \(y(x)=x\)
\[
y=x \Rightarrow D_{1}^{1}y=\frac{d\ln x}{d\ln x}=1
\quad\text{و}\quad
D_{2}^{1}y=\frac{d\ln(\ln x)}{d\ln(\ln x)}=1.
\]
شروط المجال (رتبة 2): \(x>1\) و \(y=x>1\).
اقتراح تطوير: إذا أردت أن تكون هذه الصفحة “بحثية قوية”، يمكن تخصيص قسم مستقل لتصنيف حلول هذا النوع من معادلات خلط الرتب.
إضافات مقترحة (أمثلة قصيرة تزيد طول الصفحة وقيمتها)
هذه نماذج جاهزة تستطيع إضافتها لاحقًا بسهولة (كل نموذج سطرين إلى أربعة أسطر)، وهي ممتازة لـ SEO لأنها تُكثر الكلمات المفتاحية:
رتبة 1 (نموذج قوة عام): \(D_{1}^{1}y=g(x)\Rightarrow \ln y=\int \frac{g(x)}{x}\,dx + C\Rightarrow y=\exp(\cdots)\).رتبة 1 (نموذج لوغاريتمي بسيط): \(D_{1}^{1}y=a+b\ln x\Rightarrow y=Cx^{a}\exp\!\big(\tfrac{b}{2}(\ln x)^2\big)\).رتبة 2 (نموذج ثابت): \(D_{2}^{1}y=A\Rightarrow y=\exp(C(\ln x)^A)\) مع \(x>1\).رتبة 0 (مذبذب): \(D_{0}^{2}y+\omega^2y=0\Rightarrow y=C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x)\).
نصيحة كتابة: بعد كل حلّ، أضف سطر “تفسير” (قانون قوة/نمو أُسّي/نمو لوغاريتمي...) وسطر “شروط المجال” — هذا يرفع الوضوح ويقلل التناقضات.
©